Persamaan garis singgung pada kurva \( y = \frac{\sin x}{1+\cos x} \) pada titik yang berabsis \( \frac{\pi}{3} \) atau \( x = \frac{\pi}{3} \) adalah…
- \( y = \frac{3}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3\pi}{4} \)
- \( y = \frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\pi}{9} \)
- \( y = \frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{3\pi}{4} \)
- \( y = \frac{2}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2\pi}{9} \)
- \( y = \frac{2}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{2\pi}{9} \)
Pembahasan:
Pertama kita cari gradient dari kurva \(y\) di titik \(x = \frac{\pi}{3}\) terlebih dahulu. Karena gradien nya sama dengan turunan pertama dari \(y\), maka diperoleh:
\begin{aligned} f(x) = y &= \frac{\sin x}{1+\cos x} \Leftrightarrow y = \frac{u}{v} \\[8pt] y' &= \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \\[8pt] m &= y' = \frac{\cos x \cdot (1+\cos x)-\sin x \cdot (-\sin x)}{(1+\cos x)^2} \\[8pt] &= \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1+\cos x)^2} \\[8pt] &= \frac{\cos x + 1}{(1+\cos x)^2} = \frac{1}{1+\cos x} \\[8pt] f'\left( \frac{\pi}{3} \right) &= \frac{1}{1+\cos \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2}} =\frac{2}{3} \end{aligned}
Selanjutnya, untuk \( x = \frac{\pi}{3} \) maka nilai kurva \( y \) yaitu:
\begin{aligned} f(x) = y &= \frac{\sin x}{1+\cos x} \\[8pt] f\left( x= \frac{\pi}{3} \right) &= \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{1+ \cos \frac{\pi}{3}} \\[8pt] &= \frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{3} \times \frac{2}{3} \\[8pt] &= \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{aligned}
Dengan demikian, persamaan garis singgung yang melalui titik (x,y) yaitu \( \frac{\pi}{3}, \frac{1}{3}\sqrt{3} \) dan bergradien \( m = \frac{2}{3} \) adalah…
\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\[8pt] y-\frac{1}{3}\sqrt{3} &= \frac{2}{3} \left( x- \frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] y &= \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\sqrt{3}-\frac{2\pi}{9} \end{aligned}
Jawaban D.